Тел: +7 (347) 266-29-56

E-mail: uttp@mail.ru

Коррозионные среды

Характеристики природных и технических вод

Контроль качества воды

Определение стабильности водных сред

Причины и условия отложения неорганических солей

Теория активных столкновений

Термодинамическая и электростатическая теория растворов электролитов

Магнитные жидкости

Магнитные жидкости

Глава 1

1.1. Основные обозначения

1.2. Индексы

1.3. Статические магнитные свойства

1.5. Вязкость

1.6. Теплопроводность и теплоёмкость

Глава 2. Основные уравнения термомеханики магнитных жидкостей

2.1. Законы сохранения в сплошных средах

2.2. Квазистационарная изотропная модель

2.3. Кинетика намагничивания

2.4. Уравнения термомеханики с учетом внутренних вращений

Глава 1

1.1. Основные обозначения

х, у, z - декартовые координаты;

θ - угловая координата;

t - время;

v - вектор скорости;

р - давление;

ρ - плотность;

Т - температура;

Θ - отклонение температуры от среднего значения;

Н - вектор напряженности магнитного поля;

В - вектор индукции магнитного поля;

Ф - магнитный поток;

Ms - намагниченность насыщения материала частицы;

μ0 - магнитная проницаемость вакуума;

η - коэффициент сдвиговой вязкости;

ηv - коэффициент объемной вязкости;

ηr - коэффициент вращательной вязкости;

υ - коэффициент кинематической вязкости;

Λ - декремент возмущения; коэффициент теплопроводности;

Х - коэффициент температуропроводности;

K - постоянная Больцмана;

G - ускорение земного тяготения;

С - удельная теплоемкость единицы массы;

Ψ, φ - угол;

V - объем;

β - коэффициент объемного расширения;

r - радиус;

l - характерный размер;

h – высота;

G – постоянный градиент напряженности магнитного поля;

γ – постоянный градиент температуры; единичный вектор;

k – волновой вектор; единичный вектор;

s – энтропия;

ω - вектор угловой скорости;

Ka – константа суммарной магнитной анизотропии;

S – поверхность;

n – нормаль;

σ - электропроводность;

δik – символ Кронекера;

τ - время релаксации;

N – полный момент импульса;

L – внешний момент импульса;

К – внутренний момент импульса;

eg – единичный вектор в направлении гравитационного поля;

е – единичный вектор в направлении магнитного поля;

εikl – тензор Леви – Чивита;

σ v, σ vik – тензор вязких напряжений.

1.2. Индексы

«0» - величины в состоянии механического равновесия;

«*» - постоянные средние значения величин;

«/» - малые отклонения от равновесных значений величин;

«^» - безразмерные величины.

1.3. Статические магнитные свойства

По сравнению с известными однофазными магнитополяризующимися жидкостями (парамагнетиками) магнитные жидкости характеризуются значительным магнитным моментом единицы объема M. Магнитные свойства коллоида определяются прежде всего типом дисперсной фазы. Используемые при получении магнитных жидкостей ферромагнетики и ферримагнетики относят к сильномагнитным веществам, которые намагничиваются в сравнительно слабых полях ( H = 102 - 104 А/м). Существенным признаком ферро- и ферримагнетиков является возникновение энергетически выгодных элементарных областей самопроизвольной намагниченности в отсутствие внешнего поля, постулированное Вейссом в 1907 г. Внутри каждого домена намагниченность однородна, но направление вектора этой самопроизвольной (спонтанной) намагниченности изменяется от одного домена к другому, таким образом, материал в целом ненамагничен. (Размеры доменов различны и лежат в пределах от 10 -4 до 10 -8 м.). Ферромагнитны такие металлы, как железо, кобальт, никель, гадолиний и многие их сплавы. Ферримагнетики – это, например, большинство ферритов с общей формулой MeFe2O4, где Me – двухвалентный металлический ион. Интересующий нас феррит железа Fe3O4 имеет кристаллическую структуру обращенной шпинели.

Внешнее магнитное поле ориентирует элементарные магнитные моменты в образце, и он намагничивается. Установлено, что пока намагниченность сравнительно мала, она увеличивается пропорционально полю:

M = χ H          (1.6)

Коэффициент пропорциональности χ носит название (объемной) магнитной восприимчивости вещества. Напряженность поля и намагниченность в самом общем случае – векторные величины, и только при совпадении их направления являются скалярами.

Магнитная индукция связана с намагниченностью соотношением

B = μ0(H + M) = μ0(1 + χ)H = μ0H          (1.7)

где μa = μ0(1 + χ) – константа, называемая абсолютной проницаемостью. Для вакуума χ = 0 и μa = μ0 = 1,26 ⋅ 10 -6 Гн/м. Кроме того,

B = Φ / S          (1.8)

где S – поверхность, пронизываемая магнитным потоком Φ. (Здесь и ниже напряженность поля, намагниченность среды, магнитная индукция приводятся в системе СИ). Для пересчетов справедливы соотношения: 1 Гс = 10 -4 Тл; 1Э = 103/4π А/м = 79,577 А/м; 1 ед. СГС (Гс) = 103 А/м.)

Зависимости намагниченности или магнитной индукции от напряженности называют кривыми намагничивания, которые определяются химическим составом вещества и его структурой. С увеличением напряженности внешнего магнитного поля число и размеры областей спонтанной намагниченности с векторами, параллельными полю (или близкими параллельным), возрастают за счет областей, намагниченных в противоположном направлении, и образец в целом намагничивается. В достаточно сильных полях доменная структура исчезает, и материал намагничивается практически до насыщения. Если после этого внешнее поле выключить, то упорядоченность направлений намагничивания отдельных доменов частично сохраняется (остаточное намагничивание). Этим определяется характерный для ферромагнетиков гистерезис, сущность которого состоит в том, что величина индукции неоднозначно зависит от величины магнитного поля, так как на нее влияют направление, и величина ранее действовавших полей. Гистерезис обусловлен необратимостью процессов намагничивания, которая приводит к рассеянию энергии. При циклическом перемагничивании кривая намагничивания образует петлю гистерезиса (рис. 8). Петля гистерезиса, полученная при условии насыщения Bs, называется предельной. Основными ее характеристиками являются: остаточная индукция Br, остающаяся в образце после снятия внешнего поля; коэрцитивная сила Hc — размагничивающее поле обратного направления, которое необходимо приложить к образцу, чтобы уничтожить остаточную индукцию; площадь петли, характеризующая потери на гистерезис за один акт перемагничивания.

Известно, что при нагревании самопроизвольная намагниченность уменьшается и в точке Кюри резко падает до нуля, и магнетики переходят в парамагнитное состояние, в котором содержащиеся в веществе магнитные моменты (электронные орбиты и спины) в слабой степени ориентируются полем, причем действию поля препятствует тепловое движение. Очевидно, существование таких температур обусловлено тем, что при достаточном нагревании обеспорядочивающее действие теплового движения на ориентацию магнитных осей атомов становится настолько значительным, что преодолевает силы взаимодействия атомов, обеспечивающие спонтанную намагниченность домена.

Рисунок 8. Предельная петля гистерезиса

Значения температур Кюри и намагниченности насыщения (при комнатной температуре) для ферромагнитных материалов группы железа и магнетита приведены в табл. 1 [33].

Температурная зависимость намагниченности насыщения Ms некоторых ферритов представлена на рис. 9 [34]. С приближением к температуре Кюри гиромагнитный коэффициент Ks = | ∂M / ∂T | увеличивается до максимальной величины.

Из соотношений (1.6) и (1.7) следует:

          (1.9)

Таблица 1

Материал Tк, °C Ms, А/м
Fe 770 1,72 ⋅ 106
Co 1121 1,51 ⋅ 106
Ni 358 4,84 ⋅ 105
Fe3O4 563—590 4,77 ⋅ 105

где безразмерную величину μ = μa / μ0 называют относительной проницаемостью.

Таким образом,

B = μaH = μμ0H          (1.10)

Когда речь идет о магнитной проницаемости материала, то имеют в виду относительную проницаемость.

Рисунок 9. Температурная зависимость намагниченности насыщения Ms различных ферритов: 1 - FeO⋅Fe2O3; 2 - MnO⋅Fe2O3; 3 -Ni0,35Zn0,65O⋅Fe2O3; 4 - Mn0,5Zn0,5O⋅Fe2O3

Различают нормальную μ, начальную μнач, максимальную μmax и дифференциальную μдиф магнитную проницаемость [35]. Нормальная магнитная проницаемость для точки A (рис. 10) определяется как тангенс угла наклона секущей OA к оси абсцисс:

          (1.11)

Начальная проницаемость представляет собой наклон касательной на начальном участке кривой B = f(H):

          (1.12)

Отметим, что начальная проницаемость находится из изменений при малой напряженности поля путем экстраполяции поля к нулю.

Максимальная проницаемость μmax – частный случай нормальной проницаемости, соответствующей точке верхнего перегиба кривой намагничивания.

Дифференциальную проницаемость получаем как производную от магнитной индукции по напряженности магнитного поля для любой точки кривой намагничивания:

          (1.13)

Рассмотрим кратко некоторые вопросы, относящиеся к кристаллической структуре ферро- и ферримагнетиков.

Рисунок 10. К объяснению понятии магнитной проницаемости

Так как кристаллы являются магнитоанизотропными, т.е. существуют направления легчайшего намагничивания, то при отсутствии внешнего поля всегда имеет место намагничивание в легчайшем направлении. Чтобы изменить направление вектора намагниченности, требуется поле конечной величины. В связи с этим вводят понятия энергии кристаллографической магнитной анизотропии, подразумевая под этим работу, которую необходимо затратить, чтобы повернуть вектор намагниченности из направления легчайшего намагничивания в направление трудного намагничивания. Эксперименты показали, что для описания кристаллографической магнитной анизотропии достаточно двух постоянных K1 и K2 в разложении свободной энергии магнитной анизотропии по направлениям вектора намагниченности относительно кристаллографических осей. Разложение должно иметь симметрию кристаллической решетки; например, для кубических кристаллов справедливы формулы следующего вида (с точностью до членов, не зависящих от направляющих косинусов α1, α2, α3):

          (1.14)

В данном случае оси координат совпадают с осями кристалла. Часто достаточно указать только значение K1.

Таблица 2

Материал K1 K2
Fe 103 эрг/см3
Co 400 - 525 –170 - 290
Ni 3980 1980
Fe3O4 –34 - 59 50
–110 - 130 –28

Некоторые примеры значений K1 и K2 при комнатной температуре приведены в табл. 2 [33].

Магнитные свойства магнитного материала зависят не только от химического состава, но и от его структуры.

Тонко измельченные металлические порошки широко изучались ранее в связи с развитием порошковой металлургии. В работе [7] введено понятие «суперпарамагнетизм» для системы однодоменных частиц ферромагнетика, находящихся в твердой немагнитной матрице. Так как с уменьшением размера частиц многодоменная структура становится энергетически невыгодной, то, начиная с некоторого размера, каждая частица представляет собой отдельный магнитный домен. Расчет нижнего предела радиуса однодоменности r0 сферической частицы приведен ниже [36].

Материал r0, Å
Fe 87
Co 105
Ni 200

Характерным признаком суперпарамагнетизма является отсутствие гистерезиса и совпадение кривых намагничивания при разных температурах в зависимости от аргумента H/Т [37].

Так как размеры частиц твердой фазы известных магнитных жидкостей не превышают нижнего предела радиуса однодоменности, то их тоже относят к «суперпарамагнетикам» (см. параграф 1.1). С учетом возможности вращательного движения оси магнитной анизотропии частицы из-за тепловых флуктуации направлений магнитного момента m в частице [38], а также путем броуновского вращения частиц относительно жидкости-носителя [39] (см. параграф 2.3) магнитные свойства коллоида в равновесном состоянии могут быть описаны, как и в теории парамагнетизма Ланжевена, соотношением:

          (1.15)

при условии постоянства Ms для однородно намагниченной (однодоменной) частицы независимо от ее размера [37]:

m = MsV

Таким образом, намагниченность магнитной жидкости с объемной концентрацией φd = nV частиц магнетика зависит от величины напряженности приложенного внешнего поля H и дезориентирующего действия теплового движения.

Результаты измерения намагниченности различных магнитных жидкостей сравнивали с теоретическими зависимостями, используя имеющиеся данные о размере и концентрации частиц. Полученные кривые намагничивания [40, 41] удовлетворительно согласуются с теоретическими, рассчитанными по формуле

          (1.16)

в которой учитываются распределение частиц по размерам и уменьшение «магнитного диаметра» каждой частицы на величину 2a0 из-за образования немагнитного поверхностного слоя при химическом взаимодействии с адсорбционным слоем олеиновой кислоты. Предполагается, что толщина немагнитного слоя примерно равна 8,4Å. Здесь φp – объемная концентрация твердой фазы, вычисленная по плотности коллоида.

Для практических расчетов зависимость намагниченности M от напряженности магнитного поля H и температуры T, представленная формулами (1.15), (1.16), слишком сложна. При небольших отклонениях H и T от некоторых постоянных средних значений H* и T* рассматриваемая зависимость может считаться линейной:

М(Н, Т) = М*(Н*, Т*) + χ(Н - Н*) – К(Т – Т*)          (1.17)

где χ = (∂M / ∂H)τ — магнитная восприимчивость единицы объема магнитной жидкости при постоянных значениях температуры и концентрации частиц в единице объема; K – температурная зависимость намагниченности жидкости которая называется пиромагнитным коэффициентом:

          (1.18)

В дальнейшем предполагается (∂M / ∂ρ)H, T = M / ρ, т.е намагниченность линейно зависит от плотности жидкости (см. параграф 2.2).

На рис. 11 представлены измеренные кривые намагничивания коллоида феррита Mn0,5Zn0,5⋅Fe2O4 в керосине, стабилизированного олеиновой кислотой, с разной концентрацией дисперсной фазы. Опыты проводились при комнатной температуре. Выбранный марганец цинковый феррит Mn0,5Zn0,5⋅Fe2O4 характеризуется максимальным коэффициентом КS при температурах приблизительно 100 - 200°С из приведенных на рис. 9 ферритов , что позволяет получить жидкость с максимальным пиромагнитным коэффициентом K, учитывающим, кроме температурной зависимости намагниченности твердого материала Ks, еще изменение плотности жидкости с температурой. В дальнейшем (см. параграф 3.1) будет показана важность величины пиромагнитного коэффициента магнитной жидкости при использовании ее в качестве теплоносителя. Заметим, что для получения максимального пиромагнитного коэффициента необходимо применять такой теплоноситель в интервале температур вблизи точки Кюри. Однако для большинства используемых материалов температура Кюри превышает предельную температуру применения даже таких высокотемпературных носителей, как кремнийорганические соединения. Так как, предельная температура арилароксисилановой жидкости ТСК атмосферном давлении составляет 320 - 340°С, что значительно ниже температуры Кюри для большинства магнитных материалов, приведенных в таблице 1. Поэтому использование в качестве дисперсной фазы железа дает незначительный пиромагнитный

Рисунок 11. Экспериментальные кривые намагничивания магнитных жидкостей с различным объемным содержанием феррита Mn0,5Zn0,5⋅Fe2O3 где (1 - 10,49%; 2 - 8,76%; 3 - 6,64%; 4 - 4,48%)

коэффициент K ∼ 2 А/м⋅град в среднетемпературном интервале [43]. Известно, что с увеличением содержания Zn в смешанных ферритах со структурой шпинели точка Кюри понижается, но одновременно понижается намагниченность насыщения при комнатных температурах и, следовательно, пондеромоторное взаимодействие с неоднородным магнитным полем. Температуры Кюри некоторых серий смешанных ферритов показаны на рис. 12 [44].

В заключение рассмотрим известные методы измерения намагниченности магнитных жидкостей. По аналогии с измерением магнитных моментов парамагнитных солей намагниченность первых жидкостей, не обладавших сильными магнитными свойствами, определялась по измерениям силы, действующей на образец в неоднородном поле. Составляющая этой силы в направлении оси z равна.

          (1.19)

Измеряя разность уровней жидкости в U-образной трубке, одно колено которой помещалось в неоднородное магнитное поле ∂H / ∂z = const, по весу P = pgΔh компенсирующего силу Fz столба жидкости, определяли значение M (так называемый метод Квинке) [45]. Точность этого метода, однако, невелика.

Рисунок 12. Температуры Кюри смешанных ферритов: 1 - Fe2O3(CoO)x(ZnO)1-х; 2 - Fe2O3(MnO)x(ZnO)1-х

Баллистический метод измерения намагниченности применяется для жидкостей со значительными магнитными моментами. Основой его служит закон индукции

          (1.20)

по которому изменение магнитного потока Φ, пронизывающего замкнутый виток (Φ = ВndS ), приводит к возникновению в последнем электродвижущей силы e. Здесь Вn – составляющая вектора индукции, перпендикулярная поверхности dS, ограниченной витком. При использовании этого метода образцы жидкости должны находиться в кюветах, сделанных из немагнитного диэлектрика в форме вытянутых эллипсоидов, чтобы однородному внешнему полю H соответствовало однородное поле внутри образца и, следовательно, однородная намагниченность. Кювета помещается внутрь подключенной к баллистическому гальванометру измерительной катушки, последовательно с которой включается вторая, компенсационная, аналогичная первой, но намотанная в противоположном направлении. Она располагается на некотором расстоянии от образца в том же однородном поле, чтобы компенсировать изменение потока в цепи гальванометра вследствие изменения магнитного поля в отсутствие образца в измерительной катушке. В момент удаления кюветы из измерительной катушки магнитный поток изменяется на величину

Δ Φ =  (В - Н) dS          (1.21)

где B = μ0(Н + М - NМ); N — размагничивающий фактор. Следовательно, по максимальному отклонению гальва¬нометра можно рассчитать M. Зазор между образцом жидкости и катушкой должен быть минимальным, чтобы упростить поправку на внешнее поле рассеяния в катушке. Калибровочные опыты проводятся на твердом эталонном образце такой же формы и объема, как испытываемая магнитная жидкость, изготовленном из известно¬го магнитного материала.

Так как магнитные свойства коллоида зависят от концентрации и размера твердых частиц, то обычно определяют концентрацию твердой фазы и средний диаметр частицы. Величину объемной концентрации магнетика можно получить, измеряя плотность магнитной жидкости ρ:

          (1.22)

где φρ – объемная концентрация твердой фазы, основанная на плотностных измерениях; ρм – плотность магнитного материала; ρж – плотность жидкой фазы. Величину ρ можно измерить, например, на тарированном пикнометре. Плотность магнитного материала ρм является хорошо известной величиной и предполагается не зависящей от размера частиц. Плотность жидкой фазы – это плотность смеси жидкости-носителя и поверхностно-активного вещества. Полным выпариванием жидкой фазы из единичного объема магнитной жидкости можно найти массовую концентрацию твердой фазы φm. Связь между объемной и массовой концентрациями находится из соотношения

          (1.23)

Изучение состава дисперсной фазы и определение размеров частиц удобно проводить прямыми измерениями. Исследуя на электронном микроскопе функцию распределения частиц по размерам, по гистограмме результатов измерений получаем средний диаметр частиц. Одна из электронных микрофотографий приведена на рис. 6.

Другой метод определения размеров частиц магнитнoгo материала основывается на сопоставлении экспериментальных кривых намагничивания и зависимости (1.15) [6]. По зависимости M(H -1), экстраполируя ее в областъ H → ∞, а также по начальному наклону кривой намагничивания

можно получить два средних диаметра частиц: один d по данным в сильных полях, другой d0 при H → 0. Полидисперсность твердой фазы (d0 > d) приводит к тому, что крупные частицы с относительно большими магнитными моментами m = MsV быстрее ориентируются в слабых полях, а в области насыщения коллоида основной вклад вносят мелкие частицы, магнитные моменты которых более подвержены тепловым возмущениям. Таким образом, средний диаметр частиц лежит в интервале d < d < d0

В основе этого так называемого магнитогранулометрического определения размера мелких частиц ферромагнетика лежат приближенные значения соотношения (1.15). Если магнитное поле велико ( H >> kТ / μ0m ), то соотношение (1.15) имеет вид

          (1.24)

В слабых полях (H << kТ / μ0m) уравнение (1.15) допускает разложение.

          (1.25)

Эксперименты на коллоиде магнетита в керосине, стабилизированном олеиновой кислотой [40, 41], показали, что лишь часть дисперсной фазы обладает магнитными свойствами φd / φρ = 0,6, что, как уже указывалось, можно объяснить образованием немагнитного поверхностного слоя на частицах при химическом взаимодействии магнетита с олеиновой кислотой.

Другая причина такого расхождения состоит в возможном уменьшении намагниченности насыщения мелкодисперсной твердой фазы по сравнению с монолитным материалом [46].

1.5. Вязкость

В отсутствие внешнего поля магнитная жидкость представляет обычный коллоидный раствор, вязкость которого зависит от содержания дисперсной фазы. Увеличение вязкости η слабоконцентрированной суспензии сферических частиц, однородно диспергированных в ньютоновской жидкости с вязкостью η0, вследствие дополнительной диссипации энергии, вызванной изменением условий движения жидкости из-за присутствия частиц, описывается формулой Эйнштейна [51]:

η / η0 = 1 + 2,5φ          (1.27)

которая справедлива только для малых концентраций, когда возмущение потока на каждой частице не оказывает действия на остальную систему. Дополнительное увеличение вязкости суспензии, если частицы имеют эллипсоидальную форму, при той же концентрации частиц оказывается пренебрежимо мало, если отношение наибольшей оси эллипсоида к наименьшей невелико.

С увеличением концентрации твердых частиц предположение о независимом действии отдельных частиц становится несправедливым и используется соотношение в виде.

          (1.28)

описывающее вязкость концентрированных суспензий [11].

Для малых φ в соответствии с формулой (1.27), получаем α = –2,5. При некоторой критической концентрации φкр среда представляет собой систему плотно составленных твердых частиц и отношение η / η0 стремится к нулю. Из этого условия находим постоянную b:

          (1.29)

Следовательно, зависимость (1.26) запишется в виде.

          (1.30)

Расчеты показали, что, предполагая суспензию системой взвешенных сфер равного диаметра, а упаковку сфер при критической концентрации гексагональной, величина φкр = 0,745.

Так как устойчивый магнитный коллоидный раствор содержит дисперсную фазу в виде однодоменных частиц магнитного материала диаметром d, покрытых адсорбционным слоем толщиной δ, то объемному содержанию твердой фазы φ соответствует концентрация φd частиц в объемом . Для невзаимодействующих сфер одинаковых размеров.

          (1.31)

Подставляя (1.31) в (1.30), получаем следующее выражение для вязкости коллоида без учета взаимодействия с магнитным полем:

          (1.32)

Рисунок 15. Результаты теоретического расчета вязкости в зависимости от относительной толщины адсорбционного слоя: 1 – φd = 0,30; 2 – 0,20; 3 – 0,10; 4 – 0,05

На рис. 15 представлены результаты расчета вязкости магнитной жидкости в зависимости от относительной толщины адсорбционной оболочки δ / d с φd в качестве параметра. Из рисунка видно, что с уменьшением δ / d (точка A) в 4 раза можно получить жидкость (точка Б) с вязкостью, составляющей 1/10 часть от имеющейся, при той же объемной концентрации твердого материала. С другой стороны, одинаковой вязкости соответствует в 3–4 раза большая концентрация (точка С). Следовательно, для производства магнитной жидкости низкой вязкости необходимо ограничить отношение δ / d условием агрегативной и седиментационной устойчивости (см. параграф 1.1). Проведенный в работе [11] анализ опытных данных подтвердил линейную зависимость комплекса η - η0 / φd η от φd в соответствии с уравнением (1.32), а найденное из расчета значение среднего диаметра частиц хорошо согласуется с результатами обработки фотографий на электронном микроскопе и кривых намагничивания.

Эксперименты [52, 53] показали, что в отсутствие магнитного поля для не очень больших концентраций твердой фазы (φm 5%) кривые течения коллоида соответствуют ньютоновскому поведению жидкости, т.е. вязкие напряжения пропорциональны скоростям деформаций.

При выводе формул (1.32) предполагалось, что взвешенные магнитные частицы не имеют возможности вращения относительно дисперсионной среды и движутся в сдвиговом потоке со скоростью вращения жидкости Ω = 1 / 2 ⋅ rot v. Однако при течении в магнитном поле каждая частица испытывает действие момента сил [m x H], затрудняющего ее свободное вращение, если магнитный момент m связан с телом частицы. Возникающие при этом силы трения проявляются в увеличении эффективной вязкости жидкости. Насыщение наступает, когда поле достаточно большой напряженности жестко ориентирует частицу, не давая ей вращаться в магнитном поле. Таким образом, во внешнем поле магнитная жидкость становится неизотропной, так как магнитные моменты твердой фазы стремятся расположиться в направлении магнитных силовых линий. В частности, когда H || Ω, ориентация магнитного момента частицы по Н не препятствует ее вращению со скоростью Ω в том же направлении, т.е. поле, но влияет на вращение частиц в потоке. Такое выстраивание осей легчайшего намагничивания во внешнем поле приводит к анизотропии тензора вязкости (см. приложение 1).

Так как направление магнитного момента однодоменной частицы связано с суммарной магнитной анизотропией частицы, то существенным становится соотношение внутреннего поля анизотропии с внешним магнитным полем и возможность теплового движения момента в частице [38]. Для магнитотвердых материалов (KaV / kT > 24 ) и внешних полей, меньших полей анизотропии (Н < Ha ), справедливо предположение, что магнитный момент вморожен в частицу [54]. В этом приближении разработана, теория вращательной вязкости, учитывающая противодействие выстраиванию осей легчайшего намагничивания полем только гидродинамических сил в сдвиговом потоке [55, 56]. В ней предсказано насыщение вязкости в очень слабых полях (Н ∼ 100 А/м). Оценки, однако, показали, что основное дезориентирующее воздействие на магнитные моменты оказывает вращательное броуновское движение частиц. С учетом броуновского движения добавка к вязкости жидкости со сферическими частицами, описываемой, например, соотношением (1.32), имеет вид [57]:

          (1.33)

где ;α - угол между H и Ω.

С уменьшением размера частицы потенциальные поля, определяющие вмороженность магнитного момента, падают, и появляется возможность теплового движения момента относительно частицы. Эффективная вязкость магнитной жидкости с такими мелкодисперсными частицами кубической кристаллической симметрии в магнитном поле H >> Ha зависит также от значения параметра ( KaV / kT )2 [54]. Так как для суперпарамагнитных частиц KaV / kT << 1, то добавочный член, обусловленный вращательной вязкостью, становится, пренебрежимо мал, и жидкость можно считать изотропной средой.

Расчет вязкости для частиц в форме эллипсоидов вращения, когда поле затрудняет их обтекание даже симметричным (безвихревым) потоком, представлен в работе [58]. Необходимо отметить, что концепция вращательной вязкости, основанная на учете вращательных степеней свободы частиц, связана с гидродинамическим описанием магнитной жидкости, как среды с несимметричным вязким тензором напряжений (см. гл. 2).

Измерение вязкости коллоидного раствора кобальта в толуоле на капиллярном вискозиметре в однородном магнитном поле [59] показало зависимость ηH от направления и величины поля (рис. 16). Максимальное возрастание вязкости составило от η = 1,15⋅10 -3 кг/м⋅сек при H = 0 до ηH = 1,44⋅10 -3 кг/м⋅сек при H ≈ 5,5 - 10 5 А/м. Две кривые соответствуют различной ориентации магнитного поля при одной и той же скорости сдвига γ = 8,5⋅10 2 сек -1 и температуре Т = 24° С. Заметим, что в течении Пуазейля изолинии вектора скорости (Ω = Const) представляют концентрические окружности в поперечном сечении капилляра.

Рисунок 16. Зависимость вязкости от напряженности магнитного поля, направленного параллельно или перпендикулярно течению в капилляре при значениях γ = 8,5⋅10 2 сек -1, Т = 24° С, 1 - H || v, 2 - H⊥v

Поэтому в случае Н | v угол α = π / 2 в каждой точке, а в случае Н⊥v угол α изменяется от 0 до 2π, так что для кривой 2 также характерен определенный вклад поля в вязкое трение.

Второй механизм влияния поля на вязкость магнитной жидкости состоит в увеличении энергии взаимодействия диполей по сравнению с взаимодействием вне поля, что может привести к агрегированию частиц вдоль магнитных силовых линий и нелинейной зависимости вязких напряжений от скоростей деформаций [60, 61].

В работе [62] введен параметр γη0 / MH, характеризующий отношение вязких напряжений к магнитным, чтобы оценить неньютоновские свойства магнитной жидкости. Измерения проводились в вертикальном магнитном поле на вискозиметре конус-плоскость, конструкция которого позволяет работать на тонком слое жидкости без свободной поверхности. Так как угол между H и Ω в опытах был близок к π / 2, то на полученные результаты влияли как торможение внутренних вращений, так и агрегирование частиц в сильном магнитном поле. Скорость сдвига, напряженность поля и намагниченность жидкости изменялись в следующих пределах: 0,034 < γ < 230 сек -1, 2,86⋅10 4 < H < l,7⋅10 6 А/м, 4⋅10 3 < M < 33,3⋅10 3 А/м.

Зависимость ηH / η параметра γη0 / MH для ряда жидкостей, приготовленных на основе минерального масла, керосина и фторированных углеводородов, представлена на рис. 17.

Рисунок 17. Величина ηH / η в зависимости от γη0 / MH при Н⊥Ω; 1 - углеводородная дисперсионная среда; 2 - жидкость-носитель - фторированный углеводород

Если 10 -4 < γη0 / MH < ∞, то вклад вращательной вязкости и неньютоновских эффектов незначителен, и вязкость может быть определена, например, по формуле (1.32). С увеличением ориентирующего действия приложенного магнитного поля вязкость нелинейно зависит от магнитного поля и скорости сдвига. В диапазоне 0 < γη0 / MH < 10 -6 предполагается насыщение вращательной вязкости, которая увеличивает эффективную вязкость до максимального значения.

Кривую, аппроксимирующую экспериментальные данные рис. 17, можно описать зависимостью [63]

, a = 3, b = 1          (1.34)

Построенная кривая течения τ = ηH γ (рис. 18) показывает, что исследованные магнитные жидкости можно отнести к псевдопластичным. При малых и больших γ кривая вырождается в прямые линии τ = 4η γ и τ = η γ соответственно. Отметим, что в неоднородных полях адекватное моделирование вязкости еще более усложняется. Необходимо дальнейшее накопление экспериментального материала, причем целесообразно разделять влияние магнитного поля на вязкость. Измеряя вязкость при течении жидкости в коаксиально-цилиндрическом вискозиметре с малым зазором, когда реализуется высокая однородность напряженного состояния и соответственно градиентов скорости, в условиях Н || Ω можно оценить сдвиговую вязкость магнитного коллоида. Другое направление исследования симметричных вязких напряжений от скорости сдвига заключается в измерении вязкости жидкости в коаксиально-цилиндрическом вискозиметре, расположенном во вращающемся со скоростью сдвига магнитном поле. Представляет интерес определить антисимметричные напряжения, приводящие к эффекту вращательной вязкости, путем измерения момента, действующего в однородном вращающемся поле на образец магнитной жидкости [64, 65].

Рисунок 18. Теоретическая кривая течения для исследованных в работе [62] магнитных жидкостей

Кратко рассмотрим некоторые факторы, осложняющие измерение вязкости в магнитном поле. При определении вязкости магнитной жидкости на капиллярном вискозиметре предъявляются высокие требования к однородности магнитного поля по длине капилляра, так как неоднородность поля приводит к погрешностям, связанным с действием на магнитную жидкость силы FH=(MΔ)H. Использование ротационных приборов ограничено необходимостью изготавливать их из диэлектрических материалов, чтобы исключить пондеромоторное взаимодействие вихревых токов в движущихся деталях с внешним магнитным полем. Существующие конструкции вискозиметров, основанные на измерении времени падения шарика в исследуемой жидкости, должны быть модифицированы вследствие полной непрозрачности магнитной жидкости.

1.6. Теплопроводность и теплоёмкость

Теплопроводность тел существенно зависит от их физического состояния. Магнитный коллоид образован жидкими компонентами и твердой фазой, находящейся в кристаллическом состоянии. Может оказаться существенным так же то обстоятельство, что дисперсность магнитного материала велика [66]. Кроме того, если частицы имеют форму вытянутых эллипсоидов, то возникает анизотропия теплопроводности вследствие ориентирующего действия магнитного поля [67]. В реальных магнитных жидкостях содержатся частицы различных форм, однако обычно форма их близка к сферической (см.рис.6). Для сферических частиц теплопроводность становится изотропной и не зависит от поля [68]:

          (1.35)

где λ0, λM — коэффициенты теплопроводности жидкой фазы и магнитного материала.

Измерения теплопроводности коллоида могут дать важные сведения о таких структурных изменениях в магнитном поле, которые влияют на результаты теплофизического эксперимента. Из известных экспериментов по исследованию теплопроводности магнитных жидкостей [49, 69, 70] наиболее полно выполнены [70]. Основой реализованного метода измерений служит аналитическое описание нестационарного температурного поля, создаваемого действием бесконечно длинного линейного источника тепла постоянной мощности (зонда) в неограниченной среде [71]. Расчетная формула для определения теплопроводности среды имеет вид

          (1.36)

где A1 — постоянная зонда, определяемая из экспериментов на эталонных жидкостях; T(t) — избыточная температура зонда в различные моменты времени.

На рис. 19 показана схема измерительной камеры, все детали которой изготовлялись из немагнитных материалов. Измерительная ячейка цилиндрической формы термостатировалась прокачиванием воды с точностью 0,1 °С. Внутри ячейки коаксиально располагался зонд, размеры которого удовлетворяли неравенству [72]

Рисунок 19. Схема измерительной ячейки: 1 — теплоизоляция; 2 — термостатирующая жидкость; 3 — нагреватель-термометр зонда; 4 — оболочка зонда; 5 — магнитная жидкость; 6 — измерительная кювета; 7 — подводящие провода нагревателя-термометра зонда

          (1.37)

чтобы можно было пренебречь тепловым потоком в осевом направлении. Здесь h — высота зонда; r0 — радиус зонда.

В конструкции зонда предусматривалась избыточная длина по обе стороны от нагревателя (рабочий участок) для исключения влияния концевых эффектов, дающих конвективный вклад в зависимость теплового потока от избыточной температуры зонда в начальной стадии его разогрева.

Известно, что в случае нестационарного разогрева вертикальной поверхности конвективное движение жидкости первоначально происходит вдоль поверхности теплообмена по изотермам и не влияет на передачу тепла теплопроводностью [73]. Эта стадия, для которой справедлива зависимость (1.36), использовалась для расчета λ в проведенных экспериментах. Избыточная температура зонда не превышала 0,3 °С, что позволяет относить полученные значения коэффициента теплопроводности к начальной температуре и пренебречь изменением подводимой мощности, вызванной изменением сопротивления зонда, который служил одновременно нагревателем и термометром сопротивления. Значение избыточной температуры находилось по формуле

          (1.38)

где I — ток нагревателя; R0 — сопротивление нагревателя при начальной температуре; βc — температурный коэффициент сопротивления; Δu — напряжение разбаланса мостовой схемы, в одно из плеч которой включен зонд.

Для регистрации напряжений разбаланса моста во времени применялась высокочувствительная аппаратура, что позволило подавать на зонд фиксированную мощность, равную 0,04 Вт. При этом для исследованного диапазона коэффициентов теплопроводности величина разбаланса моста не превышала 3⋅10 -3 В.

Полученные термограммы нагрева зонда строились в координатах Δu, ln(t), из которых по углу наклона асимптоты находилось значение коэффициента теплопроводности исследуемой магнитной жидкости.

Измерительная камера помещалась в межполюсное пространство электромагнита. Эксперименты проводились в вертикальном однородном магнитном поле в диапазоне напряженности 0 – 240 кА/м. В пределах точности определения λ влияния магнитного поля, перпендикулярного направлению теплового потока, на теплопроводность магнитной жидкости не обнаружено.

Погрешность выполненного измерения λ находили по эталонным жидкостям (четыреххлористый углерод, толуол, бензол, гептан), принимая справочные данные [74] за среднее значение. Во всех экспериментах погрешность определения коэффициента теплопроводности не превышала 5%.

Рисунок 20. Зависимость коэффициента теплопроводности от объемной концентрации магнетита: 1 — данные работы [49]; 2 — [70]

Полученные результаты для магнитных жидкостей на керосине, воде и силиконовом масле ПЭС-5 располагаются несколько выше соответствующих формул (1.35) в области высоких концентраций твердой фазы. Представленные на рис. 20 опытные точки для коллоидного раствора магнетита в керосине аппроксимируются зависимостью:

λ = 0,132 + 0,466 φp,          (1.39)

которая отличается от соотношения (1.35), пересчитанного на данную жидкость в работе [49].

Из-за отсутствия к настоящему времени исследований теплоемкости магнитных жидкостей в магнитных полях можно рекомендовать оценки, выполненные по правилу смешения:

          (1.40)

где zi — объемная (массовая) доля одной из трех компонент магнитного коллоида; ci — объемная (удельная) теплоемкость этой компоненты.

Заметим, что в области температуры Кюри вследствие резкого изменения Ms магнитного материала с температурой происходит изменение полной обменной энергии, которое сопровождается аномальным температурным ходом удельной теплоемкости [75].

Значения удельной теплоемкости некоторых материалов, применяемых при производстве магнитных жидкостей, соответственно равны: Fe3O4 — 0,655 кДж/кг?град; Fe — 0,451; Co — 0,422; Ni — 0,447; олеиновой кислоты ( C17H33COOH ) — 8; керосина — 2; воды — 4,2 кДж/кг⋅град. Видно, что по порядку величины теплоемкость коллоида должна быть близка к теплоемкости несущей среды при обычных соотношениях между компонентами.

Глава 2. Основные уравнения термомеханики магнитных жидкостей

2.1. Законы сохранения в сплошных средах

В настоящей главе рассмотрим основные уравнения термомеханики для магнитной жидкости, которая в общем случае представляет многофазную и многокомпонентную сплошную среду. В рамках континуального подхода состояние движущейся жидкости описывается с помощью непрерывных функций координат x, y, z и времени t. Напомним, что в рамках термомеханики сплошных сред под точкой пространства в магнитной жидкости x0, y0, z0 понимают физически бесконечно малый объем, т.е. такой, который значительно меньше всего рассматриваемого объема жидкости и характерного размера задачи, но больший по сравнению с межмолекулярными расстояниями и размером магнитных частиц. Следовательно, в любой «жидкой частице» или «точке жидкости» содержится очень много молекул, но в континуальном описании она рассматривается как математическая точка [1 – 3]. Остается, конечно, доопределить, сколько степеней свободы нужно приписать такой «точке» [1] сноска. В классической механике сплошных сред она обладает тремя степенями свободы, определяющими ее положение в пространстве [2] сноска.

Состояние движущейся магнитной жидкости определяется с помощью четырех скалярных функций: плотности жидкости ρ = ρ(x, y, z, t), плотности электрического заряда ρe = ρe(x, y, z, t), давления p = p(x, y, z, t), температуры T = T(x, y, z, t) и шести векторных: скорости v(x, y, z, t), напряженностей магнитного H(x, y, z, t) и электрического E(x, y, z, t) полей, намагниченности M(x, y, z, t) и поляризации P(x, y, z, t), тока проводимости i(x, y, z, t). К ним в общем случае нужно добавить поля концентраций всех компонент магнитной жидкости, а также функции, описывающие возможные внутренние степени свободы. При таком описании мы не следим за тем, как передвигается со временем каждая намеченная жидкая частица, а ищем характерные параметры частиц жидкости, проходящих через заданный элемент пространства в произвольный момент времени. Такой подход к изучению механики сплошных сред называют иногда эйлеровым.

Искомые функции, описывающие состояние магнитной жидкости, могут быть найдены из решения уравнений, выражающих фундаментальные законы сохранения массы, импульса, момента импульса и энергии вещества и электрического поля. Приведем общий вид законов сохранения в рамках континуального рассмотрения [3 – 7].

Уравнения электродинамики. Векторы напряженности электрического и магнитного полей Е и Н при наличии намагничивающейся, а также движущейся заряженной проводящей поляризуемой среды описываются уравнениями электродинамики:

          (2.1)

          (2.2)

,           (2.3)

Здесь ρe – скалярная плотность распределенных электрических зарядов; i – вектор тока проводимости; М и Р – векторы намагниченности н поляризации; ε0 и μ0 – электрическая и магнитная постоянные. Отметим, что приведенные выше уравнения электродинамики (2.1) – (2.3) справедливы для сред, скорости движения которые значительно меньше скорости света в пустоте.

Видно, что система уравнений (2.1) – (2.3) не замкнута. Для замыкания этой системы в рамках электродинамики необходимо знать дополнительные уравнения, устанавливающие связь между векторами М и Р с одной стороны, Е, Н и v — с другой. Конкретный вид этой связи будет выделять ту или иную модель материальной среды.

Законы сохранения субстанции. Имеется несколько способов записи законов сохранения. Приведем их локальную форму, имея в виду удобство ее использования в дальнейшем [2]:

          (2.4)

          (2.5)

          (2.6)

          (2.7)

где ρiLiR и E — импульс, момент импульса и энергия единицы объема магнитной жидкости соответственно; ПiRGiRlqi — плотности их полного потока. Представляется важным подчеркнуть, что в уравнения (2.4) — (2.7) входят полный импульс и момент импульса, а также полная энергия элементарного объема. Учитывая, что магнитная жидкость является многофазной средой, для описания процессов переноса в рамках термодинамики необратимых процессов вместе с законами сохранения следует использовать уравнения баланса субстанции, которые могут быть записаны с помощью общего уравнения переноса субстанции.

Рассмотрим произвольный объем магнитной жидкости V, ограниченный поверхностью S. Предположим, что в объеме V имеются заданные источники (или стоки) субстанции C [3] сноска объемной мощностью Iv, что в общем случае величина и форма объема могут изменяться со временем, а также то, что субстанция C может втекать и вытекать через поверхность S. Тогда уравнение переноса имеет вид:

          (2.8)

где v — скорость движения поверхности S; n — единичный вектор вдоль нормали к поверхности S; Jc — поток субстанции C через поверхность. Если теперь привести поверхностные интегралы к объемным, воспользовавшись теоремой Остроградского - Гаусса, то будем иметь:

          (2.9)

Откуда, учитывая, что уравнение (2.9) должно выполняться для любого объема V, получаем искомое дифференциальное уравнение переноса

          (2.10)

Уравнение (2.10) имеет простой и наглядный смысл. Левая часть дает полное изменение количества субстанции C в единице объема в фиксированной точке пространства в произвольный момент времени, включая конвективный перенос, связанный с движением жидкости. Это полное изменение, как видно из правой части уравнения, обусловлено диффузией субстанции C, а также действием внешних источников (или стоков).

Практическое использование основных уравнений (2.4) — (2.7) и (2.10) требует конкретизации выражений ρi, ПiR, LiR, GiRl, E, q. Это обычно достигается выделением определенного класса материальной среды и использованием законов неравновесной термодинамики.

Так, в последующих параграфах, рассматривая более детально свойства магнитных жидкостей, сформулируем несколько математических моделей изучаемой среды.

Прежде чем перейти к выводу замкнутых систем уравнений термомеханики магнитных жидкостей, представляется важным сделать одно замечание общего характера относительно использования закона сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса автоматически соблюдается при выполнении закона со¬хранения импульса, если тензор плотности потока импульса является симметричным Пik = Пki. Действительно, по определению [4] сноска:

P = ρvLik = xipi - xkpi          (2.11)

Подставляя выражения (2.1 1) в левую часть уравнения (2.6), получаем

          (2.12)

Если теперь учесть, что

Уравнение (2.12) перепишется следующим образом:

          (2.13)

При выполнении закона сохранения импульса третий и четвертый члены правой части уравнения (2.13) обращаются в нуль тождественно и, следовательно, для того чтобы выполнялся закон сохранения момента количества движения (2.6), необходимо и достаточно равенства нулю разности Пki - Пik = 0. Это всегда верно, если тензор Пik симметричен. Таким образом, для сплошных сред, тензор плотности потока импульса которых симметричен, нет необходимости рассматривать закон сохранения момента количества движения.

 

2.2. Квазистационарная изотропная модель

Существует широкий круг термоконвективных явлений в магнитных жидкостях, при описании которых достаточно рассматривать коллоид как однофазную изотропную сплошную среду, время релаксации намагниченности которой полагается равным нулю [8 - 10]. Следовательно, намагниченность жидкости в каждой точке и в любой момент времени определяется локальными значениями температуры и поля, а векторы намагниченности М и магнитного поля Н параллельны друг другу (см. параграф 1.3). Намагниченность жидкости «размазывается» по всему объему без учета ее дискретной структуры, и электродинамическое взаимодействие магнитного коллоида с магнитным полем ограничивается объемными силами, а обмен моментом импульса между магнитной и немагнитной фазами не рассматривается. Кроме того, магнитные жидкости в основном относятся к диэлектрикам, поэтому часто можно совсем не учитывать магнитные поля, создаваемые слабыми электрическими токами, индуцируемыми при движении жидкости в магнитном поле.

Такая значительно упрощенная модель широко используется и дает хорошие результаты при изучении стационарных и квазистационарных конвективных процессов в медленно и слабоизменяющихся магнитных полях. Поскольку дальнейшее изложение во многом базируется именно на таком представлении, в настоящем параграфе приведем последовательный вывод основных уравнений термомеханики, а также их анализ [9].

Начнем с уравнений электродинамики. Ограничимся рассмотрением слабоэлектропроводных и слабополяризующихся жидкостей. Исключим также ситуации, когда токи проводимости и смещения создают магнитные поля, соизмеримые с внешними полями или намагниченностью. Тогда общая система уравнений электродинамики, приведенная в предыдущем параграфе, значительно упрощается:

ρe = j = 0E = P = 0          (2.14)

rot H = 0div(H + M) = 0          (2.15)

L(M, H, ρ, T) = 0          (2.16)

Безусловно, требуются дополнительные предположения для того, чтобы определить явный вид уравнения состояния (2.16). Как мы уже говорили, будем считать, что внешнее магнитное поле изменяется не очень быстро в том смысле, что равновесная намагниченность любой жидкой частицы успевает установиться за время, намного меньшее характерного времени изменения магнитного поля. Тогда в каждый данный момент намагниченность успевает релаксировать по направлению приложенного магнитного поля, а по величине — к статическому значению. В литературе широко используется представление о том, что статическую намагниченность жидкости при температурах, далеких от температуры Кюри, можно подсчитать по известной формуле (1.15).

При небольших интервалах изменения магнитного поля и температуры в первом приближении зависимость намагниченности от магнитного поля, температуры и плотности можно считать линейной (1.17).

Таким образом, недостающее уравнение состояния приближенно можно записать так;

          (2.17)

где М определяется из уравнения (1.15) или (1.17) или подходящим эмпирическим выражением, полученным из экспериментальных данных.

Теперь перейдем к выводу уравнений движения. Как видно из предыдущего параграфа, для этого нужно найти явный вид тензора плотности потока импульса. Это можно сделать в весьма общем виде исходя из законов термодинамики с привлечением фундаментальных понятий симметрии.

Прежде всего, предположим, что полный тензор плотности потока импульса можно представить в виде двух слагаемых: первое из них представляет тензор плотности потока импульса для магнитной жидкости Пikv, а второе тензор плотности потока импульса магнитного поля в жидкости Пikэ:

          (2.18)

Тензор Пikэ определяют по известной формуле электродинамики сплошных сред:

          (2.19)

где .

Свободную энергию F можно получить из термодинамического выражения F = u - Ts, и для намагничивающейся среды в магнитном поле справедливо соотношение

Tds = du + pd( 1 / ρ ) - Hd( B / ρ )

где u — внутренняя энергия. Тогда для дифференциала потенциала F имеем

dF = du - Tds - sdT = -sdT + ( p / ρ2 )dρ - ( 1 / ρ )BdH          (2.20)

и, следовательно,

          (2.21)

Эти уравнения являются отправными при определении сил и уравнения энергии в движущейся среде.

Рассмотрим изотропную среду, когда . Если поведение среды определяется соотношениями В = μ0( М + Н ), М || Н, то в силу параллельности векторов М и В из соотношений (2.20), (2.21) находим

          (2.22)

где  — свободная энергия системы при Н = 0.

Теперь из (2.21) имеем

          (2.23)

Здесь p0 — давление магнитной жидкости в отсутствие магнитного поля.

Таким образом, тензор, Пikэ принимает вид:

          (2.24)

Тензор Пikv в свою очередь есть сумма обратимого потока импульса, обусловленного перемещением массы жидкости с одного места в другое как целое ρvivR, и взятого с обратным знаком вязкого тензора напряжений σikv,связанного с необратимым переносом импульса за счет трения: Пikv = ρvivk - σikv.Общий вид последнего для изотропной среды можно найти следующим образом [2, 9]. Внутреннее трение в жидкости, как известно, возникает лишь при относительном движении ее частей. Следовательно, тензор напряжений должен быть функцией градиентов скоростей ∂vi / ∂xk. В простейшем случае - это линейная функция. Из условий изотропности среды и отсутствия трения при вращении или движении жидкости как жесткого целого следует, что тензор напряжений σiRv должен содержать только симметричные комбинации производных скорости типа , . В литературе широко используется тензор вязких напряжений следующего вида:

          (2.25)

где η и ηv называются коэффициентами вязкости, которые исходя, из термодинамических соображений являются величинами положительными.

Подставляя соотношения (2.18), (2.24) и (2.25) в общее выражение закона сохранения импульса (2.5), получаем искомое уравнение движения магнитной жидкости:

          (2.26)

Здесь Fi — i-я компонента объемной плотности других внешних сил (например, силы тяжести).

Полученное уравнение отличается от известного уравнения Навье—Стокса наличием магнитострикционного члена в правой части уравнения, а также появлением дополнительной силы взаимодействия жидкости с внешним магнитным полем .

Так как магнитная жидкость есть коллоидный раствор частиц магнитного материала в немагнитной жидкости, то магнитострикционные эффекты обусловлены только присутствием твердой фазы. В силу малой концентрации частиц ферромагнетика можно пренебречь изменением объема твердых частиц в магнитном поле и считать, что магнитный момент единичного объема данной жидкости М является линейной функцией числа частиц в единице объема, т.е. линейной функцией плотности жидкости. Вследствие этого и уравнение (2.26) значительно упрощается. Это хорошо согласуется с широко используемым линейным уравнением магнитного состояния (1.17).

Обратимся теперь к выводу уравнения энергии. Для этого прежде всего конкретизируем выражение для энергии единицы объема магнитной жидкости. Будем считать, что U для любого элемента объема можно представить как сумму внутренней, u = pε, и кинетической энергии жидкости: U = u + ρv2 / 2, где ε – внутренняя энергия единицы массы. Подсчитаем изменение энергии единицы объема жидкости во времени

          (2.27)

Из уравнения неразрывности следует, что

          (2.28)

а уравнение движения дает

где σikэ = -Пikэ – тензор напряжения электромагнитного поля.

Подставляя эти выражения в (2.27), получаем

          (2.29)

Используя термодинамические соотношения (2.20) и (2.21), а также найденные ранее выражение для свободной энергии магнитной жидкости (2.22) и уравнение (2.23), соотношение (2.29) может быть приведено к виду [9]

          (2.30)

Здесь u0 = u( ρ, T, H = 0 ); . Сумма членов, стоящих под знаком дивергенции в правой части уравнения (2.30), представляет не что иное, как полный вектор плотности потока энергии в среде I:

В дополнение к известным из термомеханики вязких жидкостей потокам энергии в выражении (2.30) имеется специфический для магнитной жидкости член , который представляет плотность потока потенциальной энергии магнитной жидкости в магнитном поле. Это становится очевидным из рассмотрения следующего примера. Потенциальная энергия магнитного диполя с магнитным моментом М в поле Н при М || Н есть величина ( МН ) [3], а ее изменение при конечном изменении поля равно . Следовательно, плотность потока потенциальной энергии при движении магнитного диполя со скоростью v пропорциональна .

Сравнивая теперь общее выражение закона сохранения энергии (2.7) с уравнением (2.30), запишем искомое уравнение распространения тепла в виде

          (2.31)

Изменение температуры единицы объема магнитной жидкости происходит, как видно из (2.31), за счет теплопроводности ∇ ( λ ∇ T ) и работы сил давления , диссипации энергии в процессе вязкого трения , а также специфического выделения или поглощения тепла, обусловленного магнетокалорическим эффектом.

Итак, система уравнений (2.15), (2.17), (2.26), (2.28), (2.31) является замкнутой для описания квазистационарных процессов конвективного теплообмена и структуры магнитного поля в магнитной жидкости в приближении изотропной одножидкостной модели, если к ним добавить соответствующие уравнения состояния. Совместно с корректно сформулированными граничными условиями она позволяет найти 12 искомых функций: температуру Т, три компоненты вектора скорости v, плотность ρ, давление р, три компоненты вектора намагничения М и напряженности магнитного поля Н.

При рассмотрении конвективных процессов и теплообмена будем использовать приближение Буссинекса, т.е. учитывать зависимость плотности от температуры только в члене ρg уравнения движения. Жидкость предполагается несжимаемой и неэлектропроводной. Вязкой диссипацией и магнетокалорическим эффектом пренебрегаем. Считая все коэффициенты переноса постоянными, обсуждаемую систему уравнений вместе с линейным уравнением состояния перепишем в виде

          (2.32)

          (2.33)

          (2.34)

          (2.35)

          (2.36)

rot H = 0, div B = 0, B = μ0H + M )          (2.37)

Постановка граничных условий для скорости и температуры является стандартной. Для магнитного поля граничные условия состоят в непрерывности тангенциальной составляющей напряженности и нормальной составляющей индукции при переходе через границу

Hτ1 = Hτ2Bn1 = Bn2          (2.38)

Запишем систему уравнений естественной конвекции магнитной жидкости (2.32) – (2.37) с линейным уравнением для намагниченности (1.17) в следующем виде:

          (2.39)

          (2.40)

          (2.41)

rot H = 0          (2.42)

          (2.43)

где eg — единичный вектор в вертикальном направлении.

Для приведения уравнений к безразмерному виду выберем следующие масштабные коэффициенты: характерный размер полости l, время l 2 / v, давление ρ⋅v 2 / l 2.

Температуру yl, напряженность магнитного поля GI. Выполнив процедуру обезразмеривания, получим [11]

          (2.44)

div v = 0          (2.45)

          (2.46)

rot H = 0          (2.47)

Здесь

В дальнейшем знак « ^ » у безразмерных величин будем для краткости опускать.

Безразмерные уравнения (2.44) — (2.47) содержат характеризующие естественную конвекцию магнитной жидкости критерии Pr, Grm, Gr, А1, А2, А3. Выясним физический смысл полученных комплексов.

Критерий Grm по аналогии с известным критерием Грасгофа Gr для тепловой гравитационной конвекции называют магнитным числом Грасгофа. Этот критерий характеризует магнитный механизм конвективного движения. Сравнивая величины Gr и Grm, можно разделить вклад гравитационного и магнитного механизмов.

Критерий показывает отклонение от линейности реального магнитного уравнения состояния. Безразмерный комплекс характеризует степень неоднородности магнитного поля, а представляет собой отношение градиента напряженности магнитного поля, обусловленного неизотермичностью магнитной жидкости, к величине характерного градиента магнитного поля в жидкости. Общий анализ термо-конвективных явлений в магнитных жидкостях должен проводиться на основе совместного решения уравнений (2.32) - (2.37), так как уравнения Максвелла связаны с гидродинамическими уравнениями через зависимость намагниченности от температуры. Распространенное предположение о совпадении магнитного поля в неизотермической среде с магнитным полем в изотермической среде (магнитной жидкости) позволяет решать уравнения Максвелла (2.37) отдельно от системы уравнений (2.32) - (2.36). Такой подход означает, что влияние конвективного движения на структуру магнитного поля не учитывается.

Рассмотрим условия применимости допущения о независимости магнитного поля от температурного поля в жидкости. Перепишем уравнение (2.47) в виде

          (2.48)

Из уравнения (2.48) видно, что в уравнениях Максвелла можно пренебречь членами, содержащими температуру, если выполняется условие

А3 << 1          (2.49)

или , т.е. градиент магнитного поля вследствие неизотермичности среды существенно меньше градиента внешнего магнитного поля.

Рассматриваемое приближение применимо также, если выполняется совокупность условий:

А3 << А1⋅А2 и А3 << А1          (2.50)

По определению критериев А1, А2, А3 неравенства (2.50) можно записать в виде

          (2.51)

Первое из этих условий означает, что величина возмущений магнитного поля намного меньше равновесного значения магнитного поля в жидкости. Второе условие (2.51) в случае линейной зависимости намагниченности М от напряженности магнитного поля H переходит в условие (2.49) и имеет аналогичный смысл, но так как M* / H* ≥ χ, то оно менее жесткое, чем (2.49). Так как жидкость в реальных магнитных полях практически всегда близка к насыщению, то A1 > 1, и выполнение неравенства (2.49) заведомо позволяет считать, что магнитное поле в неизотермической жидкости совладает с полем в изотермических условиях при соответствующих граничных условиях. Можно сказать, что уравнения (2.32) — (2.36) описывают естественную конвекцию магнитной жидкости в «нулевом» по возмущениям магнитного поля приближении.

Оценим порядок градиентов температуры, до которых «нулевое» приближение справедливо для жидкости, имеющей типичные параметры  A/м⋅град; β = 9⋅10 -4 1/град; M* = 4⋅104 A/м, и неоднородности поля G = 105 A/м2;  град/м.

Таким образом, при исследовании процессов конвективного теплообмена в среднетемпературном интервале можно пренебречь температурными возмущениями структуры магнитного поля в жидкости.

На основе рассмотренной в этом параграфе модели в следующей главе будут исследованы особенности конвективных процессов и теплообмена в магнитных жидкостях во внешних неоднородных магнитных полях. Однако необходимо проанализировать справедливость сделанных при построении квазистационарной изотропной модели упрощений на более общей модели магнитной жидкости, учитывающей межфазный обмен моментом импульса, который связан с процессами внутреннего трения при торможении вращения частиц внешним магнитным полем в сдвиговом течении жидкости. Возникающие при этом объемные моменты пар компенсируются объемным моментом сил, обусловленным несовпадением векторов намагниченности М и внешнего магнитного поля Н. В этом случае намагниченность магнитной жидкости перестает быть однозначной функцией внешнего поля и температуры, а зависит также от времени, т.е. уравнения состояния намагниченности (1.15), (1.17) заменяются уравнением ее движения.

 

2.3. Кинетика намагничивания

В предыдущей главе нами обсуждались статические магнитные свойства жидкости, а в данном параграфе проанализируем механизмы, определяющие движение магнитных моментов индивидуальных частиц магнитного материала в процессе намагничивания, который состоит из ряда взаимодействий: внешнего поля с магнитным моментом частиц, магнитного момента с телом частицы и, наконец, частицы магнитного материала с жидкой фазой.

Механизм, определяющий релаксацию намагниченности, во многом зависит от связи постоянного вдали от температуры Кюри магнитного момента однодоменной частицы с матрицей домена.

Магнитное поле отсутствует. Прежде всего, магнитный момент частицы может быть жестко скреплен с телом частицы. Это обусловлено тем, что магнитный момент стремится быть сориентированным в направлении одной из осей легчайшего намагничивания, чтобы обеспечить минимум суммарной магнитной энергии анизотропии KaV⋅Sin2 φ [5], где φ – угол между осью легчайшего намагничивания и направлением магнитного момента m. Следовательно, энергия анизотропии пропорциональна объему частицы. Когда размер домена уменьшается, (самопроизвольная намагниченность домена сохраняется), уменьшается энергия магнитной анизотропии и тепловые флуктуации магнитного момента становятся все более значительными [12]. Тепловые флуктуации магнитного момента, как известно, пропорциональны kT. Если величина kT приближается к энергии анизотропии KaV, то направление магнитного момента домена m становится все более и более независимым от ориентации оси легчайшего намагничивания, другими словами, ориентация твердой матрицы домена все менее и менее связана с направлением магнитного момента частицы. При этом характерное время тепловых флуктуаций момента в частице τN определяется выражением

 [13]. В пределе, когда kT ≥ KaV, направление магнитного момента домена совершенно не связано с положением его твердой матрицы ( τN → 0 ). Отношение является параметром, который показывает степень вмороженности магнитного момента в тело частицы. Когда σ* >> 1, магнитный момент вморожен в тело частицы ( τN → ∞ ). В случае, когда σ*  1 магнитный момент лишь частично свободен в своей ориентации внутри домена.

Имеется внешнее магнитное поле. В выражении для энергии частицы появляется член mН⋅Cos Ψ, описывающий изменение ее энергии в магнитном поле [5]. Здесь Ψ – угол между направлением магнитного момента m и магнитным полем Н. Во внешнем магнитном поле на однодоменную частицу действуют магнитная сила μ0 (m∇) H и момент μ0 [m × H]. Как сила, так и момент, воздействуя на магнитный момент частицы, приводят его в движение (поступательное и вращательное). Однородное магнитное поле ориентирует магнитные моменты. Локальное равновесие наступает, когда магнитный момент m параллелен эффективному полю Hэф, которое складывается из внешнего магнитного поля Н и поля анизотропии частицы Ha, Неоднородное магнитное поле втягивает магнитный момент и, естественно, твердую частицу в область более сильного поля, заставляя ее двигаться в направлении градиента магнитного поля.

В однородном магнитном поле, направление которого изменяется в пространстве, происходит вращение магнитного момента вслед за полем. Поведение твердой частицы при этом зависит от соотношения двух параметров , характеризующих величину энергии теплового движения по сравнению с энергией магнитной анизотропии и энергией взаимодействия с внешним полем. Если σ* << 1, σ* << ξ то вращение магнитного момента не сказывается на положении частицы и характерное время релаксации определяется временем затухания ларморовской прецессии магнитного момента вокруг равновесного положения из-за внутренних диссипативных процессов в домене. Время затухания прецессии τ0 = ( γэαH ) -1 ≈ 10 -8 сек [14], поэтому практически всегда реализуется равновесное магнитное состояние. Здесь γa – гиромагнитное отношение для спина электрона; α — безразмерный параметр затухания [15].

В другом предельном случае σ* >> 1, σ* >> ξ магнитный момент «вморожен» в тело частицы и время поворота момента в равновесное положение определяется броуновским временем теплового вращения частицы .

Обсудив поведение магнитного момента внутри однодоменной частицы, а также самой магнитной частицы во внешнем магнитном поле, рассмотрим влияния внешнего магнитного поля на намагничивание системы однодоменных частиц, взвешенных в жидкости-носителе. Процесс намагничивания такой системы в целом зависит от величины намагниченности частиц, степени их упорядочения внутри жидкости-носителя и характера взаимодействия магнитного момента с телом магнитной частицы.

Микроскопические процессы вращения отдельных частиц и их магнитных моментов в магнитном поле подвержены интенсивным тепловым флуктуациям и проявляются статистически. Следствием этого является характерный для парамагнетика ланжевеновский вид зависимости (1.15) статической намагниченности жидкости от температуры и напряженности поля (см. параграф 1.3). Так называемый суперпарамагнетизм магнитной жидкости обусловлен броуновским вращением частиц в жидкости, с одной стороны (σ* >> 1), а с другой – тепловыми флуктуациями направления магнитного момента частицы в поле, когда объем частицы достаточно мал (σ* << 1).

Необходимо отметить, что вследствие большой величины магнитного момента т нелинейность зависимости (1.15) проявляется очень рано. В результате намагниченность насыщения исследуемых магнитных жидкостей достигается уже в магнитных полях порядка 105 А/м.

Динамика намагничивания. Протекание процесса установления равновесной ориентации магнитных моментов после включения поля во многом зависит от соотношения энергии теплового движения момента и энергии кристаллографической анизотропии частицы . Основные механизмы релаксационного процесса состоят из ларморовской прецессии момента вокруг равновесного положения ( τ0 ); поворота магнитных моментов из-за тепловых флуктуации внутри домена ( τN ); броуновского вращательного движения частицы ( τA ).

В общем случае кинетика намагничивания магнитной жидкости определяется совместным движением магнитного момента и частицы в жидкости-носителе с учетом вязкой диссипации [16]. Различные частные случаи рассмотрены в работах [10, 17, 18].

Заметит, что рассмотренная в предыдущем параграфе изотропная квазистационарная модель жидкости справедлива при условии σ* << 1. Неравенство σ* >> 1 показывает, что намагничивание жидкости связано с вращением частиц относительно жидкости-носителя, которое, как будет показано далее, оказывает существенное влияние на гидродинамику, а через нее на распределение температуры в жидкости.

Влияние внутренних вращений твердых частиц на процессы переноса описывается в гидродинамической модели, рассмотренной в следующем параграфе. Здесь остановимся па уравнении, входящем в эту систему и характеризующем конечное время установления равновесного магнитного состояния.

Если предположить, что отклонение от равновесного намагничивания не очень велико, то движение магнитного момента может быть описано линейным релаксационным уравнением с одним параметром релаксации. В локальной системе координат, вращающейся со средней скоростью вращения частиц ? в единичном объеме, это уравнение может быть представлено в следующем виде [16]:

          (2.52)

где Mc задается формулой (1.15).

Поскольку данная система вращается относительно лабораторной, то в силу известного кинематического соотношения, связывающего производную от вектора во вращающейся системе координат с производной в лабораторной системе координат, запишем уравнение релаксации намагниченности магнитной жидкости в лабораторной системе отсчета в виде

          (2.53)

Значение времени релаксации τ при условии σ* >> 1 определяется, как было показано ранее, броуновским временем τA, которое для магнитной жидкости с частицами размером порядка 100 A при комнатной температуре составляет, порядка 10 -6 сек.

В работах [19 – 21] получены уравнения динамики намагничивания, в которых времена релаксации продольной M|| и поперечной M компонент намагниченности оказываются разными и зависящими от напряженности магнитного поля. Для примера приведем феноменологические уравнения релаксации для несжимаемой магнитной жидкости из работы [21]:

          (2.54)

где ; , как получено в работе [20]. Здесь L – функция Ланжевена.

 

2.4. Уравнения термомеханики с учетом внутренних вращений

Как обсуждалось в параграфе 1.5, несовпадение вектора гидродинамического вихря Ω = 1/2⋅rot v с вектором напряженности магнитного поля Н приводит к торможению вращения частиц магнитного материала в сдвиговом потоке и, следовательно, к усложнению обычного напряженного состояния жидкости с дополнительной вязкой диссипацией при ее движении. Экспериментальное подтверждение [22] значительности вклада, вносимого неравновесными внутренними вращениями в процессы диссипации энергии, а следовательно, в производство энтропии в магнитной жидкости, показало важность их учета и изучения.

Это изучение основывается на введения дополнительной макроскопической характеристики магнитной жидкости – поля средней скорости вращения твердых частиц ω, отличного, вообще говоря, от скорости гидродинамического вихря Ω. Гидродинамическое описание в этом случае связано с представлением о внутреннем моменте количества движения K жидкости, который определим как K = Iω. Величину I можно считать суммарным моментом инерции частиц в единичном объеме.

Введенное понятие внутреннего момента количества движения дополним представлением о том, что связанное с ним внутреннее трение является механизмом, определяющим неравновесные процессы взаимопревращения внутреннего момента количества движения K и внешнего момента количества движения L = ρ[ r × v ]. Не сохранение внешнего момента количества движения, как отмечалось выше, приводит к асимметрии тензора вязких напряжений. Таким образом, изучение термомеханики магнитных жидкостей с учетом внутренних вращений может быть проведено на основе асимметричной гидромеханики. Исторически механика асимметричных жидкостей начала развиваться задолго до появления магнитных жидкостей. Первоначально ее рассматривали как обобщение классической гидромеханики, позволяющее установить границы применимости симметричной модели [7]. Однако именно магнитные жидкости являются наилучшим объектом приложения результатов асимметричной гидромеханики, учитывая широкие возможности их практического применения.

Так как в дальнейшем будут рассмотрены конкретные задачи конвективного теплообмена симметричной магнитной жидкости, то мы здесь остановимся на уравнениях асимметричной феррогидродинамики лишь кратко. Цель нашего рассмотрения состоит в том, чтобы дать читателю общее представление о модификации уравнений переноса асимметричной магнитной жидкости по сравнению с обычной, а также получить некоторые соотношения, устанавливающие возможность обоснованного пренебрежения асимметричными свойствами при исследовании конвективного теплообмена в магнитных жидкостях.

Перейдем к выводу уравнений асимметричной гидродинамики. При этом не будем вдаваться во все детали последовательного термодинамического метода, заменяя длинную цепь формальных преобразований выводами, следующими из анализа физического смысла соотношений.

Отмстим, что при моделировании асимметричной жидкости возникает необходимость использовать наряду с законом сохранения полного момента импульса жидкости, складывающегося из внешнего момента импульса и внутреннего момента импульса также уравнения баланса слагаемых полного момента импульса, которые могут быть записаны с использованием выведенного в параграфе 2.1 общего уравнения переноса субстанции.

Система законов сохранения для жидкости с внутренним моментом количества движения имеет вид

          (2.55)

          (2.56)

          (2.57)

где ПikGikl – соответственно тензоры плотности потока импульса и полного момента количества движения.

Вводя тензор напряжений σik с помощью соотношения

представим уравнение движения (2.56) в виде

          (2.58)

Далее из определения тензора GLik = ρ( xivk - xkvi ) и уравнения движения (2.58) легко вывести уравнение баланса внешнего момента импульса

          (2.59)

где G eikl – тензор плотности потока внешнего момента импульса, определяемый соотношением

а σ aik – антисимметричная часть тензора напряжений:

Получим теперь уравнение баланса внутреннего момента импульса. Для этого уравнение (2.59) следует вычесть из уравнения (2.57). В результате имеем

          (2.60)

где  – тензор плотности потока внутреннего момента количества движения.

Важная особенность уравнений переноса (2.59), (2.60) состоит в том, что в качестве источника внешнего и внутреннего моментов количества движения выступает одна и та же величина (взятая с различными знаками антисимметричная часть тензора напряжений). Таким образом, именно антисимметричные напряжения определяют интенсивность процессов взаимопревращения внешнего и внутреннего моментов количества движения.

Основным уравнением антисимметричной теории является уравнение (2.60), определяющее поле скоростей внутреннее вращения ωik = Kik / I. Отметим, что в уравнении (2.60) тензор напряжений в случае магнитной жидкости включает как антисимметричные вязкие напряжения, так и антисимметричную часть тензора электромагнитных напряжений Максвелла ωikэа:

          (2.61)

где легко может быть получена из выражения для тензора электромагнитных напряжений:

          (2.62)

Явный вид неизвестных тензоров Gikli и Giklva может быть просто установлен исходя из их смыслового значения как слагаемых в уравнении баланса внутреннего момента количества движения (2.60), которое перепишем в форме

          (2.63)

выделив конвективный поток v1Kik из общего потока внутреннего момента количества движения G iikl. В уравнении (2.63) величина D iikl определяет диффузионный перенос внутреннего момента количества движения. Линейное определяющее уравнение для диффузионного потока момента импульса можно записать следующим образом:

          (2.64)

Слагаемые σikэа и σikva в уравнении (2.63) имеют смысл соответственно объемно-распределенных моментов сил, действующих на частицы со стороны поля, и моментов пар сил трения, возникающих при несовпадении средней скорости вращения частиц ωik и скорости вращения жидкости .

Ввиду того, что линейные cкорости относительного движения на поверхности частиц, которые имеют размеры порядка 10-6  см, малы ( v = ?d / 2 ), хорошим приближением является определяющее уравнение, линейное относительной угловой скорости

          (2.65)

Уравнение (2.65) может быть записано также в форме

          (2.66)

Коэффициенты η*r и τs характеризуют соответственно вращательную вязкость и время релаксации внутреннего момента количества движения. Как легко видеть, они связаны соотношением

          (2.67)

Используя записанные выше определяющие уравнения (2.61), (2.64) и (2.65) в уравнении (2.63) и записав получающееся при этом уравнение в векторной форме с помощью соотношения получаем уравнение баланса внутреннего момента количества движения в виде

          (2.68)

Перейдем теперь к формулировке уравнения движения асимметричной магнитной жидкости. Для этого необходимо определить симметричную часть тензора напряжений, антисимметричная часть которого определена выше соотношениями (2.61) и (2.65), (2.66). Предположим, что при обращении антисимметричной части тензора напряжений в нуль, напряженное состояние магнитной жидкости вполне описывается обычным ньютоновским тензором вязких напряжений σikvs в сумме с симметричной частью тензора электромагнитных напряжений Максвелла σikэs:

          (2.69)

Перепишем соотношение (2.69) в развернутом виде:

          (2.70)

Векторную форму уравнения движения магнитной жидкости получим после подстановки определяемого соотношениями (2.61), (2.65), (2.70) выражения для полного тензора напряжений магнитной жидкости в уравнение (2.58):

          (2.71)

Полная система уравнений термомеханики асимметричной магнитной жидкости включает кроме уравнений (2.68) и (2.71) также уравнение релаксации намагниченности (2.52) и уравнение переноса тепла

          (2.72)

где R – мощность диссипативных тепловыделений в единице объема, определяемая выражением

          (2.73)

Полученные уравнения значительно упрощаются, если пренебречь эффектами сжимаемости и диффузии и, кроме того, в уравнении баланса внутреннего момента количества движения инерционный член считать малым по сравнению с вязким членом .

Возможность последнего упрощения подтверждается оценкой величины τs порядка 10 -11 сек [16], что значительно меньше характерных гидродинамических времен.

Диффузия внутреннего момента импульса существенна лишь в тех случаях, когда характерная диффузионная длина l, равная примерно среднему расстоянию между частицами (можно принять l порядка 10 -5 см при средних концентрациях), соизмерима с размерами сосуда. Пренебрегая также диссипативными тепловыделениями, выпишем систему уравнений термомеханики магнитной жидкости в следующем виде:

          (2.74)

          (2.75)

          (2.76)

          (2.77)

          (2.78)

          (2.79)

Заметим, что уравнение движения (2.74) с помощью известного соотношения векторного анализа , а также уравнения (2.78) может быть переписано в виде

          (2.80)

Видно, что модификация уравнения Навье–Стокса (2.74) заключается, с одной стороны, в увеличении эффективной вязкости жидкости, и с другой – в появлении дополнительного члена *r rot ω, который описывает передачу импульса от поля к жидкости посредством внутренних вращений. Усложняется также слагаемое, определяющее пондеромоторное взаимодействие магнитной жидкости с полем, что связано с тем, что намагниченность жидкости не параллельна внешнему полю. Можно, однако, не учитывать последнего эффекта по сравнению с влиянием слагаемого *r rot ω, так как отклонение намагниченности от равновесного направления, как правило, невелико: время магнитной релаксации ( τ ≅ τA ≈ 10 -6 - 10 -5 сек ) мало по сравнению с гидродинамическими временами, которые реализуются в обычных условиях, т.е. Ωτ << 1.

Таким образом, влияние внутренних вращений практически отсутствует, если

          (2.81)

т.е. поле относительной скорости вращения частиц в жидкости потенциально

          (2.82)

Если же потенциальным является поле угловой скорости частиц в лабораторной системе, т.е.

          (2.83)

то влияние внутренних вращений сводится лишь к увеличению эффективной вязкости магнитной жидкости.

Уравнение (2.75) выражает баланс объемных моментов сил вязкого трения и электродинамического взаимодействия. Это уравнение устанавливает также равенство антисимметричных частей тензоров σ vik и σ эik, вследствие чего полный тензор напряжений магнитной жидкости оказывается симметричным.

Значительное упрощение рассмотренной системы уравнений к виду, допускающему сравнительно простое аналитическое и численное исследование конкретных течений, выполнено в работах [23, 24]. Это упрощение основано на предположении Ωτ << 1. В этом случае получено для антисимметричной части тензора вязких напряжений следующее выражение [23]:

          (2.84)

в котором ;  — вектор вращения магнитного поля относительно движущегося элементарного объема жидкости. В простейшем случае однородного стационарного магнитного поля уравнение движения приобретает вид

          (2.85)

где ηr - вращательная вязкость, определяемая соотношением:

          (2.86)

Из выражения (2.86), в частности, видно, что η*0 соответствует насыщению вращательной вязкости ( H → ∞ ).

Как следует из уравнения (2.85), влияние внутренних вращений в этом приближении сводится лишь к модификации эффективной вязкости жидкости, если

          (2.87)

или

          (2.88)

Кроме того, этим влиянием можно пренебречь во всех случаях, если величина вращательной вязкости мала по сравнению с обычной:

          (2.89)

Применительно к простейшим течениям асимметричной магнитной жидкости в работе [25] развиваются общие критерии, позволяющие оценить степень влияния внутренних вращений на гидродинамику при включении поля.

В заключение отметим, что рассмотренная асимметричная модель магнитной жидкости основана на условии вмороженности магнитного момента в тело частицы. Асимметричная модель с учетом дополнительных внутренних степеней свободы, связанных с движением момента относительно частицы, развита в работе [26].

 


[1] Число независимых величии, задание которых необходимо для однозначного определения положения объекта, называется числом eго степеней свободы.

[2] В механике сплошных сред с внутренними степенями свободы «точке» жидкости в простейшем случае приписывается шесть степеней свободы (три поступательные и три вращательные).

[3] Это может быть плотность энергии, компоненты плотности момента импульса.

[4] При условии, что внутренние дополнительные степени свободы не играют существенной роли.